平行四边形的性质

平行四边形的性质

平行四边形是我们在初中学习的几何图形之一，其具有独特的性质和特点。在本文中，我们将深入探讨平行四边形的性质。

基本定义

平行四边形是有两对对边平行的四边形。其中，对边是指互相对着的边，例如AB和CD，AD和BC。

其实，平行四边形可以看做是梯形的一个特殊情况，其两个底边相等，且两腰相等。

对角线的关系

平行四边形的对角线互相平分。

也就是说，平行四边形的对角线互相相等。

Proof:

对于平行四边形ABCD，连接AC和BD两条对角线，将其交于点E。

则根据平行四边形的定义，AB∥CD，AD∥BC。

因此，∠AED=∠BEC。同理，∠EDC=∠ABC。

根据三角形内角和定理可得，∠AED+∠DEC+∠EDC=180°，∠BEC+∠CEA+∠ABC=180°。

因此，∠AED+∠DEC+∠BEC+∠CEA=360°。

而由于AB∥CD和AD∥BC，因此∠BEC+∠CEA=180°。

代入式子可得，∠AED+∠DEC+180°=360°，即∠AED=∠DEC。

同理易证∠BEC=∠CEA，因此AE=EC，BE=ED。

内角和定理

平行四边形的内角和为360°。

Proof:

我们将平行四边形ABCD分割成两个三角形：ABD和ACD。

根据任意一三角形内角和定理可得，∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°。

其中，∠BAD和∠CAD互为补角，∠ADB和∠CDA互为补角。

因此，∠ABD+∠ADB+2∠BAD+∠CDA+∠CAD=360°。

根据平行四边形的定义可知，AB∥CD，因此∠BAD=∠CDA。

同理可得，∠ABD=∠ACD。

将其代入式子可得，2∠ABD+2∠BAD=360°，即∠ABD+∠BAD=180°。

因此，∠ABD+∠BAD+∠ADB+∠CDA+∠CAD=360°，即平行四边形的内角和为360°。

面积公式

平行四边形的面积公式为S=b*h，其中b为底边长，h为高。

Proof:

我们以平行四边形ABCD为例。

首先，我们将平行四边形ABCD沿着对角线AC分成了两个三角形，其中高为h，底边分别为AB和CD。

对于任意一个三角形，其面积可以表示为S=1/2*底边长*高。

因此，对于三角形ABC和三角形ACD，其面积分别为S1=1/2*AB*h，S2=1/2*CD*h。

将其相加可得平行四边形面积的公式：S=S1+S2=1/2*AB*h+1/2*CD*h=(AB+CD)*h/2=b*h。

高的性质

平行四边形的高指垂直于两个底边的线段。

平行四边形的高具有以下性质：

平行四边形的底边中点连成的线段与高垂直且长度相等

平行四边形的高将平行四边形分成两个全等的三角形

平行四边形的面积等于底边长度与高乘积的两倍

Proof:

我们仍以平行四边形ABCD为例。

(1)连接BD并延长AB和CD至交点F、G。

由于AB∥CD，因此∠DFB=∠GBD=90°，因此FD=GB。

又因为∠ADB=∠DCB，因此∠BDF=∠CDG。

因此，三角形BFD和CGD是全等的，因此BF=CG。

由此可得，AF=FC，DG=GB，BF=FD，CG=GD。

因此，BF和CG中点E就是平行四边形的底边中点连成的线段。

又因为∠BFE和∠CGE皆为直角，因此BE垂直于FG，即BE垂直于AB和CD，并且BE=EF=GC=GD。

因此，平行四边形的底边中点连成的线段与高垂直且长度相等。

(2) 连接AD。

由于平行四边形ABCD的对角线互相平分，因此AE=EC，BE=ED，AF=FD，BF=FC。

因此，三角形ABE和CDE是全等的。

同理，三角形ADE和CBE也是全等的。

因此，平行四边形的高将平行四边形分成两个全等的三角形。

(3) 由面积公式可得，S=b*h/2。

因此，S=2*S1=2*S2=(AB+CD)*h。

对角线长度公式

平行四边形的对角线长可以用底边和高来表示。

其公式为d=(b^2+h^2)^0.5，其中d为对角线长。

Proof:

我们以平行四边形ABCD为例。

连接AC并延长至交点E。

由于AC是平行四边形的对角线，因此∠AEC=∠BED=90°。

因此，三角形ABE和CDE是全等的，因此AE=EC，BE=ED，AD=BC=d。

将两边的平方相加可得，d^2=4*AE^2=4*h^2+(AB+CD)^2=b^2+h^2。

因此，d=(b^2+h^2)^0.5。

内切圆和外接圆

平行四边形与椭圆、双曲线、抛物线一样，均有内切圆和外接圆。

平行四边形的内切圆与外接圆都具有特殊的性质。

内切圆的性质

平行四边形的内切圆是可以画出的，即内部有一个切于平行四边形的四边形的圆。

内切圆的圆心位于平行四边形的对角线交点处。

内切圆的半径等于平行四边形的半周长减去对角线的一半。

对于平行四边形ABCD，其内切圆的半径可以表示为r=(AB+CD+AD+BC)/4-d/2。

Proof:

我们以平行四边形ABCD为例。

连接AC并延长至交点E。

则AE=EC，BE=ED。

根据内切圆的性质，平行四边形的内切圆切于平行四边形的四边形，因此内切圆的半径r将平行四边形分成四个全等的直角三角形ADE、BCE、ABF和CDG。

因此，2r=AD+CE+BF+CG。

而根据等腰三角形的性质，BF=(AB+CD)/2，CG=(AD+BC)/2，因此2r=(AB+CD+AD+BC)/2。

因此，r=(AB+CD+AD+BC)/4。

由于平行四边形的对角线相相等，因此d^2=b^2+h^2。

代入可得r=(AB+CD+AD+BC)/4-d/2。

外接圆的性质

平行四边形的外接圆是可以画出的，即外部有一个切于平行四边形的四个顶点的圆。

外接圆的圆心位于平行四边形的对角线的中点处。

外接圆的半径等于对角线的一半。

总结

平行四边形是一类有趣的几何图形，其具有许多独特的性质和特点，例如对角线互相平分、内角和为360°、底边中点连成的线段与高垂直且长度相等等等。

我们还介绍了平行四边形的面积公式、高的性质、对角线长度公式、内切圆和外接圆的性质等等。

平行四边形在实际生活中也有着广泛的应用，例如建筑设计中的规划、地图绘制中的图形标识等等。

因此，深入了解和掌握平行四边形的性质和特点对于我们的学习和生活都是非常有益的。

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